如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．若AC⊥BD，AD+BC=103，且∠ABC=60°，求CD的长．

题目

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．若AC⊥BD，AD+BC=10

3

，且∠ABC=60°，求CD的长．

答案

作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F，
则四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，DF=AC．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴DF=BD，
又∵AC⊥BD，DF∥AC，
∴BD⊥DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DE＝

1

2

BF＝

1

2

(AD+BC)＝5

3

，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE=60°，DE=CD•sin∠DCE，
∴5

3

＝CD•sin60°，
∴CD=10．

首先过D作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F，把梯形转换成平行四边形和直角三角形的问题．求梯形的面积就变换成求三角形的面积，而求三角形的面积根据已知条件容易求出．

本题考点：梯形；解直角三角形．

考点点评：此题考查了梯形的一种常用辅助线-平移梯形的对角线，把梯形的面积问题转换成三角形的面积的问题．