CD是Rt△ABC斜边上的高,E为AC的中点,EB交CB延长线于F,那么BD×CF=CD×DF成立吗?

题目

CD是Rt△ABC斜边上的高,E为AC的中点,EB交CB延长线于F,那么BD×CF=CD×DF成立吗?
角ACB=90°,AB为斜边,AC,AB为直角边

答案

BD×CF=CD×DF成立
证明：
因为CD是直角△ABC斜边AB上的高
所以△CBD∽△ACD
所以CB/CA＝BD/CD
因为E是直角△CDA斜边的中点
所以DE＝AE
所以∠A＝∠BDF
因为∠A＝∠BCD
所以∠BDF＝∠BCD
又因为∠F＝∠F
所以△CFD∽△DFB
所以CD/BD＝CF/DF
所以BD×CF=CD×DF