已知函数f(x)=x+m/x,且f(1)=2. (1)求m; (2)判断f(x)的奇偶性; (3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
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已知函数f(x)=x+m/x,且f(1)=2. (1)求m; (2)判断f(x)的奇偶性; (3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
题目
已知函数f(x)=x+
m
x
答案
(1)∵f(1)=2,∴1+m=2,m=1.
(2)f(x)=x+
1
x
,f(-x)=-x-
1
x
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)=
1
x
+x在(1,+∞)上为增函数,证明如下
设x
1
、x
2
是(1,+∞)上的任意两个实数,且x
1
<x
2
,则
f(x
1
)-f(x
2
)=x
1
+
1
x
1
-(x
2
+
1
x
2
)=x
1
-x
2
+(
1
x
1
-
1
x
2
)
=x
1
-x
2
-
x
1
−
x
2
x
1
x
2
=(x
1
-x
2
)
x
1
x
2
−1
x
1
x
2
.
当1<x
1
<x
2
时,x
1
x
2
>1,x
1
x
2
-1>0,从而f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)<f(x
2
).
∴函数f(x)=
1
x
+x在(1,+∞)上为增函数.
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