在满足面积与周长数值相等的所有直角三角形中面积最小值是多少

题目

在满足面积与周长数值相等的所有直角三角形中面积最小值是多少

答案

设直角三角形的两条直角边分别为a,b则,其面积为S=0.5*a*b,周长为l=a+b+(a^2+b^2)^0.5 故,S=l,推出0.25*a*b-a-b+2=0,这是个约束极值问题,在高等数学中可以用拉格朗日乘数法来解.在初等数学中,办法也很多,其一如下：解出b=(a-2)/(0.25*a-1),从而S=0.5*a*b=2[( b-4)+8/(b-4)+6],由基本不等式得：S>=2*(4*2^0.5+6),经验证,当b=4+2*2^0.5,等式成立且条件满足;当b=4-2*2^0.5时,l/=s,是增根.