设定点M(3,103)与抛物线y2=2x上的点P的距离为d1,P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,P点的坐标为( ) A.(0,0) B.(1,2) C.(2,2) D.(18,−
题目
设定点M(3,
)与抛物线y
2=2x上的点P的距离为d
1,P到抛物线准线l的距离为d
2,则d
1+d
2取最小值时,P点的坐标为( )
A. (0,0)
B. (1,
)
C. (2,2)
D. (
,−)
答案
∵(3,
)在抛物线y
2=2x上且
> ∴M(3,
)在抛物线y
2=2x的外部
∵抛物线y
2=2x的焦点F(
,0),准线方程为x=-
∴在抛物线y
2=2x上任取点P过p作PN⊥直线x=
则PN=d
2,
∴根据抛物线的定义可得d
2=PF
∴d
1+d
2=PM+PF
∵PM+PF≥MF
∴当P,M,F三点共线时d
1+d
2取最小值
此时MF所在的直线方程为y-
=
(x-3)即4x-3y-2=0
令
则
即当点的坐标为(2,2)时d
1+d
2取最小值
故选C
先判断出M(3,
)在抛物线y
2=2x的外部然后做出图形(如下图)则PM=d
1过p作PN⊥直线x=
则PN=d
2,根据抛物线的定义可得d
1+d
2=PM+PF故要使d
1+d
2取最小值则只有当P,M,F三点共线时成立因此可求出MF所在的直线方程然后与抛物线的方程联立即可求出P点的坐标.
抛物线的简单性质.
本题主要考察抛物线的性质,属常考题,较难.解题的关键是将d1+d2=PM+PN根据抛物线的定义转化为d1+d2=PM+PF!
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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