用导数的方法求椭圆的内接矩形中面积最大的矩形的面积

题目

用导数的方法求椭圆的内接矩形中面积最大的矩形的面积
椭圆标准方程.

答案

用导数求很麻烦的……
设椭圆为x²/a²+y²/b²=1
在椭圆Ⅰ象限部分取一点P(x,y),x＞0,y＞0,则内接矩形的面积S=4xy
由椭圆方程得到y=b√(1-x²/a²)
带入,得到S=4bx√(1-x²/a²)
两边对x求导：dS/dx=4b(√(a²-x²)-x²/√(a²-x²))/a
令dS/dx=0,解得x=√2a/2
则Smax=2ab
其实用参数方程是最简单的……
设椭圆的方程为x=asint,y=bcost
在椭圆上取一个点P(x,y)(x＞0,y＞0),则内接矩形的面积S=4xy=2absin2t
由于sin2t∈[-1,1]
∴Smax=2ab