在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D在边BC上,以AD为边作正方形ADEF,联结CF,CE.如果BD=AC,求证CD=CE
题目
在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D在边BC上,以AD为边作正方形ADEF,联结CF,CE.如果BD=AC,求证CD=CE
答案
还需要补充说明:D、E在AC的两侧,否则需要求证的结论不成立.
[证明]
(1)
∵AB=AC、∠BAC=90°,∴∠ACD=45°.
∵ADEF是正方形,∴∠AED=45°,又∠ACD=45°,∴A、D、C、E共圆.
∵ABCD是正方形,∴A、B、C、D共圆,又A、D、C、E共圆,∴A、D、C、F共圆.
∵ABCD是正方形,∴AD⊥AF,而A、D、C、F共圆,∴FC⊥BC.
(2)
∵AB=AC、BD=AC,∴AB=BD,∴∠BAD=∠BDA.
∵ABCD是正方形,∴∠ADE=90°,∴∠BDA+∠CDE=90°,又∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠BAD+∠CAD=∠BDA+∠CDE,而∠BAD=∠BDA,∴∠CAD=∠CDE.
∵A、D、C、E共圆,∴∠CAD=∠CED,又∠CAD=∠CDE,∴∠CED=∠CDE,∴CD=CE.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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