函数f(x)=log9(x+8−a/x)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
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函数f(x)=log9(x+8−a/x)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
题目
函数
f(x)=lo
g
答案
∵函数
f(x)=lo
g
9
(x+8−
a
x
)
在[1,+∞)上是增函数,
∴对任意的1≤x
1
<x
2
,有f(x
1
)<f(x
2
),
即
lo
g
9
(
x
1
+8−
a
x
1
)<lo
g
9
(
x
2
+8−
a
x
2
)
,
得
x
1
+8−
a
x
1
<
x
2
+8−
a
x
2
,即
(
x
1
−
x
2
)(1+
a
x
1
x
2
)<0
,
∵x
1
-x
2
<0,∴
1+
a
x
1
x
2
>0
,
a
x
1
x
2
>−1
,a>-x
1
x
2
,
∵x
2
>x
1
≥1,∴要使a>-x
1
x
2
恒成立,只要a≥-1;
又∵函数
f(x)=lo
g
9
(x+8−
a
x
)
在[1,+∞)上是增函数,∴1+8-a>0,
即a<9,综上a的取值范围为[-1,9).
另(用导数求解)令
g(x)=x+8−
a
x
,
函数
f(x)=lo
g
9
(x+8−
a
x
)
在[1,+∞)上是增函数,
∴
g(x)=x+8−
a
x
在[1,+∞)上是增函数,
g′(x)=1+
a
x
2
,
∴1+8-a>0,且
1+
a
x
2
≥0
在[1,+∞)上恒成立,得-1≤a<9.
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