函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有多少?

题目

函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有多少?
我看了很多这道题的讲解,但还是没懂.
f[f(x)]=f(x),则就是：f(x)=x,这块我懂
但函数f:{1,2,3}→{1,2,3}哪块相当于f(x)?哪块相当于x呀?
还有三对二的情况可不可以列举一下?
我觉得就三种呀（1,2,3）→（1,2）；（1,2,3）→（1,3）；
（1,2,3）→（2,3）

答案

显然元映射f(x)=x满足函数方程,是一个解.常函数显然也是解,即f(x)=1,2或者3.3个解.这四个是平凡解,下面求非平凡解.设f(x)=y≠x,那么f(y)=f(f(x))=f(x)=y,剩下z,首先f(z)≠y,否则成常函数了.其次,若f(z)=x,则f(x)=f(f...