如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ABC=90°,AC=6,BC=CC1=2,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是_.

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ABC=90°,AC=6,BC=CC1=2,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是_.

题目
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ABC=90°,AC=6,BC=CC1=
2
,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是______.
答案
连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,
连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.
通过计算可得AB=
34

在△A1B1B中,A1B1⊥B1B,A1B1=
34
,BB1=
2

∴A1B=6又∠BC1C=45°,BC1=2,
可求得A1C=1+
35

故答案为:1+
35
连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线.(在BC1上取一点与A1C构成三角形,因为三角形两边和大于第三边)由余弦定理即可求解.

棱柱的结构特征;余弦定理的应用.

本题考查棱柱的结构特征,余弦定理的应用,是中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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