圆C(X-1)^2+Y^2=9内有一点P(0,2),过点P作直线L交圆C于A,B两点.
题目
圆C(X-1)^2+Y^2=9内有一点P(0,2),过点P作直线L交圆C于A,B两点.
(1)当弦AB被P平分时,写出直线L的方程
(2)是否存在直线L把圆周分为1:3的两段弧,若存在,求出直线L的方程,若不存在,请说明理由
答案
1)所求直线垂直于PC,PC方程 :y-yp=(yc-yp)(x-xp)/(xc-xp) 【两点式】
=> y-2=(0-2)(x-2)/(1-0)
=> y=-2x+6 ∴ kpc=-2 => kab=1/2 【kab=-1/kpc】
∴AB方程 :y-yp=k(x-xp) 【点斜式】 => y-2=(x-0)/2 => y=x/2+2
∴ x-2y+4=0 为所求.
2)圆与直线相交的弦 所对的劣弧 对应 圆心角为90°,则 圆心到所求直线的距离为半径的 √2/2倍.设直线方程为 y-2=kx 【点斜式】 => kx-y+2=0
则 |k-0+2|/√(k²+1)=3√2/2 => (k+2)²=(k²+1)*9/2 => 2k²+8k+8=9k²+9
=> 7k²-8k+1=0 => k1=1 k2=1/7
∴直线 L1 x-y+2=0
L2 x-7y+14=0 为所求.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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