已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.(1)求a,b的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.
题目
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.
(1)求a,b的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.
答案
(1)由f(x)=x
3+ax
2+bx+5得,f′(x)=3x
2+2ax+b,
∴y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为:
y-f(1)=f′(1)(x-1),
即y-(a+b+6)=(3+2a+b)(x-1),
整理得y=(3+2a+b)x+3-a.
又∵y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1,
∴
,解得
,
∴a=2,b=-4.
(2)由(1)知f(x)=x
3+2x
2-4x+5,
f'(x)=3x
2+4x-4=(3x-2)(x+2),
令f'(x)=0,得
x=或x=-2.
当x变化时,f(x),f'(x)的变化如下表:
⊙
⊙⊙⊙x | ⊙-3 | ⊙(-3,-2) | ⊙-2 | ⊙(-2,) | ⊙ | ⊙(,1) | ⊙1 |
⊙⊙f'(x) | ⊙ | ⊙+ | ⊙ | ⊙- | ⊙ | ⊙+ | ⊙ |
⊙⊙f(x) | ⊙8 | ⊙增 | ⊙极大值 | ⊙减 | ⊙极小值 | ⊙增 | ⊙4 |
∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为
f()=,
又∵f(-3)=8,f(1)=4,
∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13.
(1)先由求导公式和法则求出导数,再由点斜式求出切线方程并化为斜截式,再与条件对比列出方程,求出a和b的值;
(2)由(1)求出f′(x),再求出临界点,列出表格,求出函数的极值和端点处的函数值,对比后求出函数在已知区间上的最大值.
A:利用导数研究曲线上某点切线方程 B:利用导数求闭区间上函数的最值
本题考查了导数的几何意义,导数与函数的单调性、极值和最值关系,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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