已知复数z=a+bi,z-1/z+1是纯虚数,求证丨z丨=1

题目

已知复数z=a+bi,z-1/z+1是纯虚数,求证丨z丨=1

答案

高中数学题有一个特点,就是技巧多一点,过程就简单,技巧少一点,过程就复杂.比如本题不用技巧做,纯机械式算：
设z-1/z+1=ci,有a-1+bi=(a+1+bi)ci=(a+1)ci-bc
于是：a-1=bc,即[c=(a-1)/b ] ,(a+1)c=b
消去c:(a+1)*(a-1)/b=b
即：a∧2-1=b∧2,
故：丨z丨=√[a∧2+b∧2]=1