△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0). (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)若S△MNP
题目
△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0).
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值,使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形?如能,请求出这组值;如不能,请说明理由.
答案
(1)证明:∵抛物线y=x
2-2ax+b
2经过点M(a+c,0)
∴(a+c)
2-2a(a+c)+b
2=0(1分)
∴a
2+2ac+c
2-2a
2-2ac+b
2=0
∴b
2+c
2=a
2.(5分)
由勾股定理的逆定理得:△ABC为直角三角形;(2分)
(2)①如图所示;
∵S
△MNP=3S
△NOP∴MN=3ON即MO=4ON.(5分)
又M(a+c,0)
∴
N(,0)(3分)
∴a+c,
是方程x
2-2ax+b
2=0的两根
∴
(a+c)+=2a3.(5分)
∴
c=a(4分)
由(1)知:在△ABC中,∠A=90°
由勾股定理得
b=a.(5分)
∴
cosC==(5分)
②能.(5分)
由(1)知y=x
2-2ax+b
2=x
2-2ax+a
2-c
2=(x-a)
2-c
2∴顶点D(a,-c
2)(6分)
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM,DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形,只须ED=
MN=EM.(5分)
∵M(a+c,0)D(a,-c
2)
∴DE=c
2EM=c
∴c
2=c又c>0,
∴c=1(7分)
∵c=
ab=
a
∴a=
b=
.(5分)
∴当a=
,b=
,c=1时,△MNP为等腰直角三角形.(8分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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