高中抽象函数题

题目

高中抽象函数题
已知函数f(x)对任意的a b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.求证f(x)是R上的增函数.

答案

证明：对任意x1,x2属于R不妨设x1>x2
f(x1)=f((x1-x2)+x2)
∵对任意的a b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1
∴f(x1)=f(x1-x2)+f(x2)-1
即 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
∵x1>x2
∴x1-x2>0
∴f(x1-x2)>1
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0
∴根据单调函数定义可知
f(x)是R上的增函数.