如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点A（0，2），∠OCB=60°， ∠COB=45°，求OC的长．

题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点A（0，

2

），∠OCB=60°，
∠COB=45°，求OC的长．

答案

连接AB
∵∠OCB=60°，
∴∠A=∠OCB=60°（1分）
∵A，(0，

2

)，∴OA=

2

在Rt△AOB中，tan∠BAO=

BO

AO

，
∴OB=

2

•tan60°=

2

×

3

=

6

（2分）
过点B作BD⊥OC于D，
∴∠CDB=∠BDO=90°
∵∠COB=45°，
∴∠DBO=∠COB=45°，∴OD=BD；（3分）
在Rt△DOB中，由勾股定理得OD=BD=

3

（4分）
在Rt△BCD中，tanC=

BD

CD

，∠C=60°，
∴CD=

BD

tanC

=

3

3

=1（5分）
∴OC=OD+DC=

3

+1．（6分）

连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=

2

，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．

本题考点：圆周角定理；坐标与图形性质；解直角三角形．

考点点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．