高一正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1求证BD1垂直平面AB1C,求AB与平面AB1C所成角

题目

高一正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1求证BD1垂直平面AB1C,求AB与平面AB1C所成角

答案

连接B1C交BC1于E,连接B1A交A1B于F,连接EF,
由中位线定理知EF//A1C1,( 0* )
而A1C1垂直于B1D1,.(1*)
又BB1垂直于平面A1B1C1D1,
故BB1垂直于A1C1.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线) (2*)
故由(1*),(2*) A1C1垂直平面BB1D1D (3*)
(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)
由 (0*) 知EF垂直于平面BB1D1D.
EF在平面AB1C上,
故平面AB1C垂直于平面BB1D1D.(若一平面过另一平面的一条垂线,则这两平面互相垂直).
(2) 连接AC交BD于G,知AC垂直于BD.又知AC//A1C1,
由(3*)知AC垂直于平面BB1D1D.从而AG垂直于GB1,G为A点在平面BB1D1D上的投影.
从而角AB1G= 直线AB1与B1D1BD所成的角.
在三角形AB1G中:AB1= 根号2,GB1 = 根号(3/2),
cos角AB1G = (根号3)/2,角AB1G = 30度,
即直线AB1与B1D1BD所成的角为30度.