已知向量a与向量b是两个非零向量当

题目

已知向量a与向量b是两个非零向量当
│向量a+t向量b│（t∈R)取最小值时
（1）求t
(2)证明向量b垂直（向量a+t向量b)

答案

当|a+tb|取最小值时,即|a+tb|²取最小值
|a+tb|²
=(a+tb)²
=a²+2tab+t²b²
=b²t²+2abt+a²
将当看作关于t的二次函数
因为b²>0
所以当t=-2ab/(2b²)=-ab/b²时,|a+tb|取最小值（注意,a,b是向量,不能约分）
b*(a+tb)
=ba+b*tb
=ab+tb²
=ab+(-ab/b²)b²
=ab-ab
=0
所以b垂直于(a+tb)