四边形ABCD中,点O是CD的中点,AO,BO分别平分∠DAB,∠ABC,∠AOB＝120°,求证AD＋二分之一DC＋BC＝AB

题目

四边形ABCD中,点O是CD的中点,AO,BO分别平分∠DAB,∠ABC,∠AOB＝120°,求证AD＋二分之一DC＋BC＝AB

答案

作DE⊥AO,交AB于E；作CF⊥BO,交AB于F；连接OE,OF.
∵ AO、BO分别平分∠BAD,∠ABC
很明显△ADE为等腰三角形；即AE=AD
△BCF为等腰三角形;：即BF=BC
△OAD≡△OAE (SAS：OA=OA),
△OCB≡△OCF （同理）
所以：OD=OE,OC=OF,
∠AOD=∠AOE,∠BOC=∠BOF
又：点O是CD的中点 即：OE=OF
∵ ∠AOB=120°
∴ ∠AOD+∠COB=60°
由上已证明：∠AOD=∠AOE,∠BOC=∠BOF
∴ ∠AOE+∠COF=60°
∴ ∠FOE=60°
∵ OF=OE
∴ △FOE为等边三角形
∴ FE=OF=OC=1/2DC
由上已证明：BC=BF,AD=AE.
∴ AD+1/2DC+BC=AE+EF+FB=AB