定义在（0,+∞）上的函数F（X）,对任意的M,N∈（0,+∞）都有F（M*N）=F（M）+（N）成立.且当X大于1时,F（X）小于0

题目

定义在（0,+∞）上的函数F（X）,对任意的M,N∈（0,+∞）都有F（M*N）=F（M）+（N）成立.且当X大于1时,F（X）小于0
（1）F（1）=?（2）证明：F（1/X）=-F（X）对任意X∈（0,+∞）都成立.
（3）证明：F（X）在（0,+∞）上是减函数.（4）当F（2）=-1/2时,解不等式F（X-3）大于-1.

答案

(1)由于：f(mn)=f(m)+f(n)则令m=1,n=1则：f(1)=f(1)+f(1)则：f(1)=0(2)证明：令m=1/x,n=x则：f(1/x*x)=f(1/x)+f(x)则：f(x)+f(1/x)=f(1)=0即：f(1/x)=-f(x)故f(1/x)=-f(x)对任意X∈（0,+∞）都成立.(3)证明：由于：f...