二次函数的所有性质

题目

二次函数的所有性质

答案

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h,k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,
可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ].
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
Δ= b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax²+bx+c=0
此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.