根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
题目
根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
答案
证明:证法一:在(-∞,+∞)上任取x
1,x
2且x
1<x
2则f(x
2)-f(x
1)=x
13-x
23=(x
1-x
2)(x
12+x
1x
2+x
22)
∵x
1<x
2,
∴x
1-x
2<0.
当x
1x
2<0时,有x
12+x
1x
2+x
22=(x
1+x
2)
2-x
1x
2>0;
当x
1x
2≥0时,有x
12+x
1x
2+x
22>0;
∴f(x
2)-f(x
1)=(x
1-x
2)(x
12+x
1x
2+x
22)<0.
即f(x
2)<f(x
1)
所以,函数f(x)=-x
3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:在(-∞,+∞)上任取x
1,x
2,且x
1<x
2,
则f(x
2)-f(x
1)=x
13-x
23=(x
1-x
2)(x
12+x
1x
2+x
22).
∵x
1<x
2,
∴x
1-x
2<0.
∵x
1,x
2不同时为零,
∴x
12+x
22>0.
又∵x
12+x
22>
(x
12+x
22)≥|x
1x
2|≥-x
1x
2∴x
12+x
1x
2+x
22>0,
∴f(x
2)-f(x
1)=(x
1-x
2)(x
12+x
1x
2+x
22)<0.
即f(x
2)<f(x
1).
所以,函数f(x)=-x
3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
举一反三
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