已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B

题目

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B
（1） 若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围；
（2） 设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,
求证：a2/｜ON｜2+b2/｜OM｜2为定值.

答案

画上图象
有图像得,当p在（-a,0）或（a,0）点时∠APB最小,且向（-b,0）或（b,0）点移动时∠APB趋向于无穷大,那么∠APB≤90°即可,即a≥√2b
即b/a≤√2/2 得e≥1/2
e∈[1/2,1)
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