利用柱面坐标计算三重积分∫∫∫xyzdv,其中D是柱面与x^2+y^2=1,（x>0,y>0）与平面z=0,z=3围成的图形.

题目

利用柱面坐标计算三重积分∫∫∫xyzdv,其中D是柱面与x^2+y^2=1,（x>0,y>0）与平面z=0,z=3围成的图形.

答案

用柱坐标：
∫∫∫ zr³cosθsinθ dzdrdθ
=∫[0→π/2] cosθsinθ dθ∫[0→1] r³ dr∫[0→3] z dz
三个积分各算各的就行,这里书写不方便,我一个一个算,你做题时可以一起算
∫[0→π/2] cosθsinθ dθ
=∫[0→π/2] sinθ d(sinθ)
=(1/2)sin²θ |[0→π/2]
=1/2
∫[0→1] r³ dr
=(1/4)r^4 |[0→1]
=1/4
∫[0→3] z dz
=(1/2)z² |[0→3]
=9/2
最后结果为三项相乘：9/16