P是三角形ABC内一点,向量AP=1/2向量AB+1/3向量AC,则S三角形pbc:S三角形abc

题目

P是三角形ABC内一点,向量AP=1/2向量AB+1/3向量AC,则S三角形pbc:S三角形abc

答案

考虑到三角形的面积公式S=1/2absinC,引进一种新的运算---向量的外积（叉乘）：
向量a×b=|a|•|b|•sinα（其中α表示向量a到b的角）.
向量AP=1/2向量AB+1/3向量AC
上式可化为：BP-BA=-1/2BA+1/3(BC-BA)
BP=1/6BA+1/3BC
在上式两边同时用向量BC作外积得：
BP×BC=1/6BA×BC+1/3BC×BC,
由外积的定义知：|BP||BC|sin∠PBC=1/6|BA||BC|sin∠ABC+1/3|BC||BC|sin0
即 |BP||BC|sin∠PBC=1/6|BA||BC|sin∠ABC
所以S三角形PBC:S三角形ABC=1：6.