双曲线x的平方分之a的平方 — y的平方分之b的平方=1（a和b大于0)的右焦点F2到过点A(a,0),B(0,b)

题目

双曲线x的平方分之a的平方 — y的平方分之b的平方=1（a和b大于0)的右焦点F2到过点A(a,0),B(0,b)
的直线的的距离等于双曲线虚半轴长的一半,求双曲线的离心率

答案

过点A(a,0),B(0,b)的直线方程是x/a+y/b=1
即 bx+ay-ab=0
F2(c,0)
∴ F2到直线距离为d=|bc-ab|/√(a²+b²)=b/2
∴ (c-a)/c=1/2
∴ 2(c-a)=c
∴ c=2a
∴ 双曲线的离心率e=c/a=2