直角三角形ABC中∠C=90°，PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N． 求证：①BC⊥平面PAC； ②PB⊥平面AMN．

题目

直角三角形ABC中∠C=90°，PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．
求证：①BC⊥平面PAC；
②PB⊥平面AMN．

答案

证明：①∵直角三角形ABC中∠C=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC
又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC；
②由①中结论得：BC⊥AN
又∵AN⊥PC于N．BC∩PC=C
∴AN⊥平面PBC，又由PB⊂平面PBC，
∴AN⊥PB，又由AM⊥PB于M，AN∩AM=A
∴PB⊥平面AMN