椭圆标准方程 (x^2/a^2) (y^2/b^2)=1(a>b>0),P为椭圆上一点,且PF1垂直PF2 求三角形PF1F2的面积

题目

椭圆标准方程 (x^2/a^2) (y^2/b^2)=1(a>b>0),P为椭圆上一点,且PF1垂直PF2 求三角形PF1F2的面积

答案

设|PF1|=p,则根据椭圆定义,|PF2|=2a-p,|F1F2|=2c；
因为PF1垂直PF2,三角形PF1F2是直角三角形,所以|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|²,
即p²+(2a-p)²=(2c)²,但c²=a²-b²,所以p²+(2a-p)²=4(a²-b²)²,亦即
2p²-4ap+4b²=0,由维达定理p1+p2=2a,p1p2=2b²；p1+p2=2a表明p2就是|PF2|,
所以三角形PF1F2的面积=p1p2/2=2b²/2=b².