已知整数x,y,z满足(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z,证明:x+y+z是27的倍数

题目

已知整数x,y,z满足(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z,证明:x+y+z是27的倍数

答案

1.假设左边不是三的倍数
x y z不同余 ,此时x+y+z必是3的倍数,假设矛盾
所以.
2.由次,x y z至少有一对同余,不妨设x y同余,由于x+y+z是3的倍数,所以
x y z 均同余
所以x-y
y-z
z-x
均是3的倍数
所以得证.