设XZY是整数,且满足(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=X+Z+Y 试证明X+Y+Z能被27整除

题目

设XZY是整数,且满足(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=X+Z+Y 试证明X+Y+Z能被27整除
设XZY是整数,且满足(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=X+Z+Y 试证明X+Y+Z能被27整除

答案

简单.
在(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=X+Z+Y中,考虑X、Y、Z除以3的余数：
①两两不同：左边不能被3整除,右边可以,矛盾.
②其中两个一样,剩下那个和它们不一样：左边能被3整除,右边不能,矛盾.
所以它们除以3的余数只能完全相同,由此立即证毕.