江湖救急!设复数z满足|z|=5,且（3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,求复数z

题目

江湖救急!设复数z满足|z|=5,且（3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,求复数z

答案

z=a+bi
则a²+b²=5²
(3+4i)(a+bi)
=(3a-4b)+(4a+3b)i
在第二、四象限的角平分线上
则x+y=0
即3a-4b+4a+3b=0
b=7a
a²+b²=5²
所以50a²=25
a=±√2/2
b=7a
所以z=√2/2+7√2i/2或-√2/2-7√2i/2