设f(x)连续函数,且满足方程f(x)-2∫(x到0)f(t)dt=x^2+1,求f(x)

设f(x)连续函数,且满足方程f(x)-2∫(x到0)f(t)dt=x^2+1,求f(x)

题目
设f(x)连续函数,且满足方程f(x)-2∫(x到0)f(t)dt=x^2+1,求f(x)
答案
因为f(x)连续,则∫[0→x] f(t) dt可导,
而f(x)=2∫[0→x] f(t) dt+x²+1,因此f(x)可导
f(x)-2∫[0→x] f(t) dt=x²+1两边对x求导得:
f '(x)-2f(x)=2x,一阶线性微分方程
将x=0代入原式得:f(0)=1,这是初始条件
套公式:
f(x)=e^(∫2dx)(∫ 2xe^∫-2dx dx + C)
=e^(2x)(∫ 2xe^(-2x) dx + C)
=e^(2x)(-∫ x d[e^(-2x)] + C)
=e^(2x)(-xe^(-2x)+∫ e^(-2x)dx + C)
=e^(2x)(-xe^(-2x)-(1/2)e^(-2x) + C)
=-x-1/2+Ce^(2x)
将初始条件f(0)=1代入得:1=-1/2+C,则C=3/2
f(x)=-x-1/2+(3/2)e^(2x)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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