设f(x)连续函数,且满足方程f(x)-2∫(x到0)f（t）dt=x^2+1,求f(x)

题目

设f(x)连续函数,且满足方程f(x)-2∫(x到0)f（t）dt=x^2+1,求f(x)

答案

因为f(x)连续,则∫[0→x] f(t) dt可导,
而f(x)=2∫[0→x] f(t) dt+x²+1,因此f(x)可导
f(x)-2∫[0→x] f(t) dt=x²+1两边对x求导得：
f '(x)-2f(x)=2x,一阶线性微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=1,这是初始条件
套公式：
f(x)=e^(∫2dx)(∫ 2xe^∫-2dx dx + C)
=e^(2x)(∫ 2xe^(-2x) dx + C)
=e^(2x)(-∫ x d[e^(-2x)] + C)
=e^(2x)(-xe^(-2x)+∫ e^(-2x)dx + C)
=e^(2x)(-xe^(-2x)-(1/2)e^(-2x) + C)
=-x-1/2+Ce^(2x)
将初始条件f(0)=1代入得：1=-1/2+C,则C=3/2
f(x)=-x-1/2+(3/2)e^(2x)