a1=2,(an+1)=an+(1/an)

题目

a1=2,(an+1)=an+(1/an)
证:an〉根号(2n+1)对一切正整数n成立

答案

证明：
1º. n=1时,a1 = 4^(1/2) = 2 > (2*1 + 1)^(1/2) = 3^(1/2);
2º 假设n=k时,ak > (2k + 1)^(1/2);
则n=(k+1)时,a(k+1) = ak + 1/ak;
欲证结果,只需证（ak + 1/ak）^2 > (2k + 3);
而 （ak + 1/ak）^2 = (ak)^2 + 2 + 1/(ak)^2
> 2k + 1 + 2 + 1/(ak)^2= (2k + 3) + 1/(ak)^2
易知ak > 0且单调递增.因而1/(ak)^2 > 0;
所以,（ak + 1/ak） > (2k + 3)^(1/2)
由1º,2º可知:an>√(2n+1)对一切正整数n成立