对于函数f（x）,若f（x）＝x,则称x为f（x）的“不动点”；f［f（x）］＝x,则称x为f（x）的“稳定点”,函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A＝｛x| f（x）＝x｝

题目

对于函数f（x）,若f（x）＝x,则称x为f（x）的“不动点”；f［f（x）］＝x,则称x为f（x）的“稳定点”,函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A＝｛x| f（x）＝x｝,B＝｛x| f［f（x）］＝x｝．
⑴求证：A含于B
⑵若f（x）＝ax²－1（a∈R,x∈R）,且A＝B≠Φ,求a的取值范围

答案

1）设t为A中任一个元素,则有：f(t)=t
因此f(f(t))=f(t)=t,故t也必为B中的元素.
因此A包含于B
2）由f(x)=x,得：ax^2-1=x,此方程有实根,故delta=1+4a>=0,得：a>=-1/4
由f(f(x))=x,得：a(ax^2-1)^2-1=x,为方便,令t=ax^2-1,则方程化为：
at^2-1-x=0
at^2-atx+atx-ax^2+ax^2-1-x=0
at(t-x)+ax(t-x)+t-x=0
(t-x)(at+ax+1)=0
由于A=B,因此at+ax+1=0无实根,或其实根与t-x=0的根相同.
a(ax^2-1)+ax+1=0,无实根,即a^2x^2+ax-a+1=0,无实根
a=0时符合,a0时,须delta=a^2-4a^2(-a+1)