拉普拉斯变换为什么能够求解微分方程
题目
拉普拉斯变换为什么能够求解微分方程
能讲详细点吗?总感觉它很神奇
特征根,也很抽象,复数也抽象,比如1,1/s t,i/s的平方
答案
拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法,把定义在时域上的信号(函数)映射到复频域上(要理解这句话,需要了解一下函数空间的概念--我们知道,函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系,而两个或以上的函数组合成的集合,就是函数空间,即函数空间也是一个集合;拉普拉斯变换的“定义域”,就是函数空间,可以说,拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数.由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙,所以它就具有一些奇特的特质),而且,这是一种一一对应的关系(只要给定复频域的收敛域),故只要给定一个时域函数(信号),它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号(不管这个信号是实信号还是复信号),因而,只要我们对这个复频域信号进行处理,也就相当于对时域信号进行处理(例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a,则若我们对F(s)进行时延处理,得到信号F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z];只要对F(s-z)进行反变换,就可以得到f(t)e^zt).
拉普拉斯变换被用于求解微分方程,主要是应用拉普拉斯变换的几个性质,使求解微分方程转变为求解代数方程(因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多!而且,(可以很方便地)对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解).
我们总可以容易地画出实变函数的图像(绝大多数函数的确如此),但我们难以画出一个复变函数的图象,这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一;而另外一个原因,就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义.
关于特征根和复数,建议提问者再去看看书中的定义,应该不难理解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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