已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A

题目
已知椭圆C:
x
答案
(Ⅰ)由 
5
9
e2
a2b2
a2
=1−
b2
a2
,得 
b
a
2
3
.…(2分)
依题意△MB1B2是等腰直角三角形,从而b=2,故a=3.…(4分)
所以椭圆C的方程是
x2
9
+
y2
4
=1
.…(5分)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2.
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去x得 (4m2+9)y2+16my-20=0.…(7分)
所以 y1+y2
−16m
4m2+9
y1y2
−20
4m2+9
.…(8分)
若PM平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.…(9分)
设P(a,0),则有 
y1
x1−a
+
y2
x2−a
=0

将 x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得 
2my1y2+(2−a)(y1+y2)
(my1+2−a)(my2+2−a)
=0

所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.…(12分)
将 y1+y2
−16m
4m2+9
y1y2
−20
4m2+9
代入上式,整理得 (-2a+9)•m=0.…(13分)
由于上式对任意实数m都成立,所以 a=
9
2

综上,存在定点P(
9
2
,0)
,使PM平分∠APB.…(14分)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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