如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,AC=AB,双曲线y=k/x经过C点 ①求双曲线的解析式; ②点P为第四象限双曲线上一点,连接
题目
如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,AC=AB,双曲线y=
经过C点
①求双曲线的解析式;
②点P为第四象限双曲线上一点,连接BP,点Q(x、y)为线段AB上一动点,过Q作QD⊥BP,若QD=n,问是否存在一点P使y+n=3?若存在,求直线BP解析式;若不存在,说明理由.
答案
①过点C作CD⊥x轴于点D.
由y=3x+3得,A(-1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3.
∵∠CAD+∠BAO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CAD=∠AOB.
∵AC=AB,∠CAD=∠AOB=90°,
∴△ADC≌△BOA,
∴CD=OA=1,AD=OB=3,
∴OD=OA+AD=4,
∴C(-4,1),
∴k=xy=(-4)×1=-4,
∴该双曲线的解析式是y=-
;
②过点Q作QM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.
∵∠MON=90°,
∴四边形OMQN是矩形,
∴QM=ON.
∵y+n=3,OM=3,
∴ON+QD=OB,
∵ON+BN=OB,
∴QD=BN.
∵∠QNB=∠BDQ=90°,BQ=QB,
∴△BQN≌△QBD,
∴∠BQN=∠QBD,
∵QN∥OA,
∴∠BQN=∠BAO,
∴∠BAO=∠QBD,
∴AE=DE.
设OE=x.则BE=AE=x+1.
在直角△BOE中,由勾股定理,得
32+x
2=(x+1)
2,
解得,x=4,
∴E(4,0).
设直线BP的解析式是:y=kx+b(k≠0)
∴
,
解得
,
∴y=-
x+3.
①过点C作CD⊥x轴于点D,构建全等三角形△ADC≌△BOA;然后根据全等三角形的对应边相等求得点C的坐标;最后由待定系数法求双曲线的解析式.
②过点Q作QM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.构建全等三角形△BQN≌△QBD;然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理(在直角△BOE中)求得点E的坐标;最后把点B、E的坐标分别代入一次函数解析式,利用待定系数法来求直线BP的解析式.
反比例函数综合题.
本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式.在设一次函数解析式时,不要忘记自变量x的系数不为零.
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