已知RT三角形BCD的一条直角边BC与等腰RT三角形ABC的斜边重合,r若AB=2,∠CBD=30,AD=mAB+nAC,求m-n

题目

已知RT三角形BCD的一条直角边BC与等腰RT三角形ABC的斜边重合,r若AB=2,∠CBD=30,AD=mAB+nAC,求m-n

答案

过D作DE⊥AB交AB于E,作DF⊥AC交AC的延长线于F.
∵AE⊥AF、DE⊥AE、DF⊥AF,∴AFDE是矩形,∴向量AD＝向量AE＋向量AF.
∵AB＝2,又BC是等腰直角三角形ABC的斜边,∴∠ACB＝45°、AC＝AB＝2、BC＝2√2.
∵BC⊥CD、∠CBD＝30,∴CD＝BC/√3＝2√2/√3＝2√6/3.
∵∠DCF＝180°－∠ACB－∠BCD＝180°－45°－90°＝45°,又DF⊥CF,
∴CF＝CD/√2＝（2√6/3）/√2＝2√3/3,DF＝CF＝2√3/3.
∵AFDE是矩形,∴AE＝DF＝2√3/3.
由AE＝2√3/3、AB＝2,得：AE/AB＝（2√3/3）/2＝√3/3,∴AE＝（√3/3）AB,
∴向量AE＝（√3/3）向量AB.
由AC＝2、CF＝2√3/3,得：AF＝2＋2√3/3,∴AF/AC＝（2＋2√3/3）/2＝1＋√3/3,
∴向量AF＝（1＋√3/3）向量AC.
由向量AD＝向量AE＋向量AF、向量AE＝（√3/3）向量AB、向量AF＝（1＋√3/3）向量AC,
得：向量AD＝（√3/3）向量AB＋（1＋√3/3）向量AC,
又向量AD＝m向量AB＋n向量AC,∴m＝√3/3、n＝1＋√3/3,∴m－n＝－1.