把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．

题目

把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．

答案

证明：由于每个格内数字为1，2，3，
则在各行、各列，两格对角线数字和中，最小的为10，最大的为30，共有21种取值，
实际上，10行，10列，加2条对角线共22个和．
所以由抽屉原理，必有两个和是相等的．