已知abcd是不全为0的实数,函数f（x）=bx²+cx+d,g（x）=ax³+bx²+cx+d,方程f（x）=0有实根

题目

已知abcd是不全为0的实数,函数f（x）=bx²+cx+d,g（x）=ax³+bx²+cx+d,方程f（x）=0有实根
根都是g（f（x））=0的根,反之,g（f（x））=0的实根都是f（x）=o的根.
1.求d的值
2.若a=0,求b的取值范围
3.若a=1,f（x）=0,求c的取值范围

答案

(一）因g(x)=ax³+bx²+d,故g[f(x)]=af³(x)+bf²(x)+d.又因方程f(x)=0与g[f(x)]=0同解,故若m是方程f(x)=0的根,则必有f(m)=0,且g[f(m)]=0.即g[f(m)]=g(0)=d=0.∴d=0.(二）当a=0时,f(x)=bx²+cx=x(bx+c),g(x)=bx².g[f(x)]=bf²(x)=bx²(bx+c)².由题设可知,两方程x(bx+c)=0,bx²(bx+c)²=0同解.又a,b,c,d不全为0,故此时必有b≠0,而c∈R.(三）若a=1,f(1)=0,===>b+c=0.则有f(x)=-cx(x-1).g(x)=x³-cx²=x²(x-c),g[f(x)]=f²(x)[f(x)-c]²=-c³x²(x-1)²(x²-x+1),由题设知,方程-cx(x-1)=0与-c³x²(x-1)²(x²-x+1)同解.易知,当c≠0时,两方程的解均为0,1.同解.当c=0时,两方程的解均为R.故此时c∈R.