已知关于x的二次方程anx2−an+1x+1＝0(n∈N*)的两根α，β满足6α-2αβ+6β=3，且a1=1 （1）试用an表示an+1； （2）求数列的通项公式an； （3）求数列{an}的前n项

题目

已知关于x的二次方程a

答案

（1）∵关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根α，β，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，
∴6•

an+1

an

-2•

1

an

=3
∴a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

；
（2）由（1）知，a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

），
∴{a_n-

2

3

}是以

1

3

为首项，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2

3

+

1

3

•(

1

2

)n-1；
（3）S_n=

2

3

n+

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

2

3

n+

2

3

(1-

1

2n

)为递增函数，
∴S_n≥1．