设二次方程anx^2-（an+1）x-1=0有两根α和β,且满足3α+αβ+3β=1,求当a1=5/6时,数列{an}前n相合

题目

设二次方程anx^2-（an+1）x-1=0有两根α和β,且满足3α+αβ+3β=1,求当a1=5/6时,数列{an}前n相合
设二次方程anx^2-a(n+1）x-1=0有两根α和β,且满足3α+αβ+3β=1,求当a1=5/6时，数列{an}前n相合

答案

根据韦达定理 αβ=-1/an α+β=a(n+1）/an
又3α+αβ+3β=1
所以-1/an+3*[a(n+1）/an]=1
左右乘以an,整理得3*（an+1）-an=1
典型的一类组合数列
假设3*【（an+1）+X】=an+X 可得X=-1/2
故{an-1/2}为首项是1/3,公比是1/3的数列.故an-1/2=（1/3)^n
an=（1/3)^n+1/2
差比数列了,由等比和常数列组成.套用求和公式数列{an}前n相和是1/2-(1/2)*(1/3)^n + n/2