已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG. (1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由; (2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②

已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG. (1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由; (2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②

题目
已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG.

(1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由;
(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②,连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,并说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)得图③,连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立,请说明理由.
答案
(1)EG=CG.
证明:∵∠DEF=∠DCF=90°,DG=GF,∴EG=
1
2
DF=CG

(2)(1)中结论成立,即EG=CG.
证明:过点F作BC的平行线,交DC的延长线于点M,连接MG.
∴EF=CM,易证四边形EFMC为矩形.
∴∠EFG=∠GDM.
在直角三角形FMD中,DG=GF,
∴FG=GM=GD.
∴∠GMD=∠GDM.∴∠EFG=∠GMD.
∴△EFG≌△CMG.∴EG=CG.
(3)成立.证明:取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点O,连接OG,OC.
∵OB=OD,∠DCB=90°,
CO=
1
2
BD

∵DG=GF,BH=HF,OD=OB,
∴GH∥BO,且GH=
1
2
BD
;OG∥BF,且OG=
1
2
BF

∴CO=GH.
∵△BEF为等腰直角三角形,∴EH=
1
2
BF
.∴EH=OG.
∵四边形OBHG为平行四边形,
∴∠BOG=∠BHG.
∵∠BOC=∠BHE=90°,
∴∠GOC=∠EHG.
∴△GOC≌△EHG.∴EG=GC.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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