a的行列式=-1,则-1是a的特征值 a的行列式=-1,则-1是a的特征值 怎么证明
题目
a的行列式=-1,则-1是a的特征值 a的行列式=-1,则-1是a的特征值 怎么证明
还有若n为奇数且a的行列式=1证1是a的特征值,
忘了说了a是n阶正交矩阵
答案
正交矩阵就对了.
(1)由于A是正交阵,(A^T)*A=A*(A^T)=E
其中上标T表示转置,E表示单位阵.
那么:
A+E = A+A*(A^T) = A(E+A^T).
对上式两边取行列式:
|A+E| = |A(E+A^T)| = |A|*|E+A^T| = -|E+A^T|.
由于|E+A^T| = |[(E^T)+A]^T| = |E+A|.
将代入:
|A+E| = -|A+E|
所以|A+E|=0,即|A-(-1)E|=0,那么-1是A的特征值.
(2)解法跟(1)是一样的,(1)会了的话,(2)也应该会了.
由于A是正交阵,(A^T)*A=A*(A^T)=E
其中上标T表示转置,I表示单位阵.
那么:
A-E = A-A*(A^T) = A(E-A^T).
对上式两边取行列式:
|A-E| = |A(E-A^T)| = |A|*|E-A^T| = |E-A^T|.
由于|E-A^T| = |[(E^T)-A]^T| = |E-A|.
将代入:
|A-E| = |E-A|.
又由于n为奇数,所以|E-A| = -|A-E|.
将代入:
所以|A-E|=0,即|A-1*E|=0,那么1是A的特征值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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