如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E，交AB于点F． （1）求证：∠AEP=∠ABP．

题目

如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E，交AB于点F．

（1）求证：∠AEP=∠ABP．
（2）猜想线段PB、PE的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若P为AC延长线上任意一点（如图②），PE交DA的延长线于点E，其他条件不变，（2）中的结论是否成立？请证明你的结论．

答案

证明：（1）∵PE⊥PB，
∴∠EPB=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠AEP=90°-∠1，∠ABP=90°-∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEP=∠ABP；
（2）PB=PE，
如图3，过P作PM⊥AC交AB与M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠PAM=∠AMP=45°，
∴PA=PM，
∵∠PAE=45°+90°=135°，∠PMB=180°-45°=135°，
∴∠PAE=∠PMB，
在△AEP和△MBP中

∠PAE＝∠PMB ∠AEP＝∠ABP AP＝PM

，
∴△APE≌△MPB（AAS），
∴PB=PE；
（3）成立；
如图4，过P作PM⊥AB于点M，作PN⊥DA交DA延长线于点N，
∵∠PAB=∠PAN=45°，
∴PM=PN，
∵∠N=∠PMA=∠MAE=90°，
∴四边形ANPM是矩形，∴∠MPN=90°．
∵∠3+∠MPE=∠4+∠MPE=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠PMB=∠N=90°，
在△PBM和△PEN中

∠3＝∠4 PM＝PN ∠PMB＝∠N

，
∴△PBM≌△PEN（ASA），
∴PB=PE．

（1）根据题意可得∠EPB=∠BAD=90°，再由∠AEP=90°-∠1，∠ABP=90°-∠2，∠1=∠2可得∠AEP=∠ABP；
（2）过P作PM⊥AC交AB与M，证明△APE≌△MPB可得PB=PE；
（3）过P作PM⊥AB于点M，作PN⊥DA交DA延长线于点N，证明△PBM≌△PEN，可得PB=PE．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．