设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

题目

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

答案

证明：如图因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+

p

2

；
代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0，
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，
所以y₁y₂=-p²．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-

p

2

上，
所以点c的坐标为（-

p

2

，y₂），
故直线CO的斜率为k=

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

．
即k也是直线OA的斜率，
当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．
所以直线AC经过原点O．