在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)

题目

在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)
1,写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A
2.证明σ是对称变换
3.求A的所有特征值和特征向量
4.求R^3的一组标准正交基,使得σ在该基下的矩阵是对角矩阵

答案

由σ的定义得σ(ε1)=σ((1,0,0)^T)=(2,1,1)^T=2ε1+ε2+ε3σ(ε2)=σ((0,1,0)^T)=(1,2,1)^T=ε1+2ε2+ε3σ(ε3)=σ((0,0,1)^T)=(1,1,2)^T=ε1+ε2+2ε3σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)AA =2 1 11 2 11 1 2.由于A^T...