在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,D,E是斜边AB上的两点,且DE的平方=AD的平方+BE的平方,求角DCE的度数.

题目

在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,D,E是斜边AB上的两点,且DE的平方=AD的平方+BE的平方,求角DCE的度数.

答案

∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠B=∠CAB=45°
将△BCE绕C旋转到BC和AC重合,连接DF
得△ACF≌△BCE
∴∠BCE=∠ACF,∠B=∠CAF=45°
CE=CF,BE=AF
∴∠FAD=∠CAF+∠CAB=45°+45°=90°
∴在Rt△ADF中：DF²=AF²+AD²=BE²+AD²
∵DE²=AD²+BE²
∴DE=DF
∵CF=CE,DE=DF,CD=CD
∴△CDF≌△CDE(SSS)
∴∠DCF=∠DCE=1/2∠FCE
∵∠FCE=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°
∴∠DCE=1/2∠FCE=1/2×90°=45°