f(x)=x²-a㏑x在(1,2】上增,g(x)=x-a√x在(0,1)上减,求f(x),g(x)表达式
题目
f(x)=x²-a㏑x在(1,2】上增,g(x)=x-a√x在(0,1)上减,求f(x),g(x)表达式
求证x>0时,f(x)-g(x)=x²-2x+3有唯一解
答案
∵f(x)=x²-a㏑x在(1,2]上增,
∴f'(x)=2x-a/x =(2x²-a)/x 在(1,2]上恒大于0
∴2x²-a在(1,2]上恒大于0
∴a≤ (2x²)在(1,2]上的最小值
即a≤2
同理,∵g(x)=x-a√x在(0,1)上减
∴g'(x)=1-a/(2√x) =[(2√x)-a]/(2√x)在(0,1)上恒小于0
∴(2√x)-a在(0,1)上恒小于0
∴a≥(2√x)在(0,1)上的最大值
即a≥2
要同时满足a≥2和a≤2,只能是a=2
∴f(x)=x²-2㏑x,g(x)=x-2√x
第二问:
证明:设h(x)=f(x)-g(x)-(x²-2x+3)=x-2lnx+2√x-3
则题目可以转化为证明 x>0时,h(x)=0有唯一解
对h(x)求导,得h'(x)=1-2/x+1/√x=(√x+2)(√x-1)/x
∴当x>1时,h'(x)>0,h(x)递增
当x<1时,h'(x)<0,h(x)递减
又h(1)=0,
∴当x>1时,h(x)>h(1)=0,
当0h(1)=0,
∴x>0时,h(x)与x轴只有一个交点为x=1
即x>0时,h(x)=0有唯一解 x=1
∴x>0时,f(x)-g(x)=x²-2x+3有唯一解 x=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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