设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
题目
设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
答案
∵∃x∈R,x
2+2ax-a=0.
∴方程x
2+2ax-a=0有解
∴△=4a
2+4a≥0即a≥0或a≤-1
∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1
∵∀x∈R,ax
2+4x+a≥-2x
2+1
∴(a+2)x
2+4x+a-1≥0在R上恒城立
∴显然a=-2时不恒成立,因此有
,
解得a≥2,
∴命题q为真时a的范围为a≥2.
又∵命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题
∴p与q是一个为真一个为假
所以a∈(-∞,-1]∪[0,2)
所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2).
∃x∈R,x2+2ax-a=0,∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1.∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1,∴命题q为真时a的范围为a≥2或a≤-2.∵命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题∴p与q是一个为真一个为假.所以a∈(-2,-1]∪[0,2)
命题的真假判断与应用.
解决此类问题的关键是先求出命题为真时实数a的范围,并求出命题为假时a的范围,然后根据复合命题真假作出判断.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 金钱不是万能的但没有钱是万万不能的!
- 好字开头的词语接龙,不要成语!
- maths homework为什么math加s?math homework对吗?
- 空集的广义交是什么?教材上说空集的广义交不是集合,那是什么?详解,
- 一个边长8厘米的正方形的一边减少20%,另一边增加2厘米,得到一个长方形.这个长方形的面积是多少平方厘米?
- 负二,负四,零,二,四是偶数吗
- 环境污染对动物植物的伤害
- 什么东西蛋白质含量高
- 关于X的方程X^2+(2k+1)X+k-2=0的两个实数根的平方和为11,求k(^2叫的平方)求具体过程
- 背英语单词有什么窍门吗,怎样快速记住单词,并且长时间不会忘记?